Matematyka klasa 8

Wymagania programowe

Działy

matematyki

Poziom konieczny (K)

Ocena dopuszczająca

Poziom podstawowy (P)

Ocena dostateczna

Poziom rozszerzający (R)

Ocena dobra

Poziom dopełniający(D)

Ocena bardzo dobra

Poziom wykraczający (W)

Ocena celująca

TWIERDZENIE PITAGORASA

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- odczytuje współrzędne punktów kratowych zaznaczonych w układzie współrzędnych;

- zaznacza punkty kratowe, gdy są dane ich współrzędne;

- podaje przykłady twierdzeń;

- wyróżnia w twierdzeniu założenie i tezę;

- w trójkącie prostokątnym położonym dowolnie na płaszczyźnie wskazuje przyprostokątne i przeciwprostokątną;

- zapisuje symbolicznie tezę twierdzenia Pitagorasa;

- oblicza długość przeciwprostokątnej, gdy są dane długości przyprostokątnych (liczby naturalne).

Uczeń na ocenę dostateczną:

- rysuje układ współrzędnych na płaszczyźnie i nazywa jego osie;

- oblicza długość odcinka równoległego do osi układu współrzędnych;

- rozróżnia hipotezy prawdziwe i nieprawdziwe;

- oblicza długość dowolnego boku trójkąta prostokątnego, gdy dane są długości dwóch pozostałych boków;

- rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa;

- znajduje współrzędne środka odcinka, gdy są dane współrzędne jego końców.

Uczeń na ocenę dobrą:

- uzasadnia graficznie twierdzenie Pitagorasa;

- rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa;

- oblicza długość odcinka, którego końce są danymi punktami kratowymi w układzie współrzędnych.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- znajduje współrzędne drugiego końca odcinka, gdy dane są współrzędne jednego końca i środka tego odcinka;

- przeprowadza dowody twierdzeń, np. suma miar kątów trójkąta, czworokąta, podzielność liczb;

- stosuje twierdzenie Pitagorasa w zadaniach dotyczących czworokątów;

- rozwiązuje złożone zadania tekstowe z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa.

Uczeń na ocenę celującą:

- odkrywa sposób znajdowania trójkątów pitagorejskich;

- rozwiązuje zadania – problemy z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa i sprawdza, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny.

POTĘGI I PIERWIASTKI

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- oblicza wartości potęg o wykładniku całkowitym dodatnim i całkowitej podstawie;

- oblicza wartość dwuargumentowego wyrażenia arytmetycznego zawierającego potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim;

- stosuje regułę mnożenia lub dzielenia potęg o tym samym wykładniku całkowitym dodatnim;

- stosuje regułę mnożenia lub dzielenia potęg o tej samej podstawie i wykładniku całkowitym dodatnim;

- stosuje regułę potęgowania potęgi o wykładnikach całkowitych dodatnich;

- stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych i małych liczb;

- przekształca proste wyrażenia algebraiczne np. z jedną zmienną, z zastosowaniem reguł potęgowania;

- oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych;

- stosuje regułę mnożenia lub dzielenia dwóch pierwiastków drugiego lub trzeciego stopnia;

- rozkłada całkowitą liczbę podpierwiastkową w pierwiastkach kwadratowych i sześciennych na takie dwa czynniki, aby jeden z nich był odpowiednio kwadratem lub sześcianem liczby całkowitej;

- wyłącza czynnik naturalny przed pierwiastek i włącza czynnik naturalny pod pierwiastek;

- określa przybliżoną wartość liczby przedstawionej za pomocą pierwiastka drugiego lub trzeciego stopnia;

- wykorzystuje kalkulator do potęgowania i pierwiastkowania.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- stosuje łącznie wzory dotyczące mnożenia, dzielenia, potęgowania potęg o wykładniku naturalnym do obliczania wartości prostego wyrażenia;

- przedstawia potęgę o wykładniku naturalnym w postaci iloczynu potęg lub ilorazu potęg, lub w postaci potęgi potęgi;

- wyraża za pomocą notacji wykładniczej o wykładniku całkowitym podstawowe jednostki miar;

- wskazuje liczbę największą i najmniejszą w zbiorze liczb zawierającym potęgi o wykładniku naturalnym;

- wyłącza czynnik liczbowy przed pierwiastek i włącza czynnik liczbowy pod pierwiastek;

- oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu oraz przedstawia pierwiastek w postaci iloczynu lub ilorazu pierwiastków;

- wskazuje liczbę najmniejszą i największą w zbiorze liczb zawierających pierwiastki.

Uczeń na ocenę dobrą:

- podaje własnymi słowami definicje: potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim, pierwiastka kwadratowego i sześciennego;

- stosuje łącznie wszystkie twierdzenia dotyczące potęgowania o wykładniku naturalnym do obliczania wartości złożonych wyrażeń;

- rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem notacji wykładniczej wyrażającej bardzo duże i bardzo małe liczby;

- szacuje wartości wyrażeń zawierających potęgi o wykładniku naturalnym oraz pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- porównuje wartości potęg i pierwiastków;

- porządkuje, np. rosnąco, potęgi o wykładniku naturalnym i pierwiastki;

- stosuje łącznie wszystkie twierdzenia dotyczące potęgowania i pierwiastkowania do obliczania wartości złożonych wyrażeń;

- usuwa niewymierność z mianownika ułamka;

- rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, np. zadania na dowodzenie, z zastosowaniem potęg o wykładniku naturalnym i pierwiastków.

Uczeń na ocenę celującą:

- zapisuje wszystkie wzory z rozdziału Potęgi i pierwiastki oraz opisuje je poprawnym językiem matematyki;

- oszacowuje bez użycia kalkulatora wartości złożonych wyrażeń zawierających działania na potęgach o wykładniku naturalnym oraz pierwiastkach;

- rozwiązuje zadania – problemy, np. dotyczące badania podzielności liczb podanych w postaci wyrażenia zawierającego potęgi o wykładniku naturalnym;

- rozwiązuje równania, w których niewiadoma jest liczbą podpierwiastkową lub czynnikiem przed pierwiastkiem, lub wykładnikiem potęgi.

WŁASNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- stosuje wzory na długość przekątnej kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego w prostych zadaniach;

- stosuje wzory na pole kwadratu, trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego w prostych zadaniach;

- stosuje wzór na środek odcinka;

- dla danych dwóch punktów kratowych wyznacza inne punkty kratowe należące do prostej przechodzącej przez dane punkty.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- stosuje własności trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 45⁰, 45⁰, oraz 30⁰, 60⁰ do rozwiązywania nieskomplikowanych zadań.

Uczeń na ocenę dobrą:

- stosuje wzory na długość przekątnej kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego do rozwiązywania złożonych zadań;

- stosuje zależności między długościami boków o trójkątach prostokątnych o kątach ostrych 45⁰, 45⁰, oraz 30⁰, 60⁰ do rozwiązywania złożonych zadań;

- stosuje wzór na pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- wyprowadza wzory na długości przekątnej kwadratu i dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego oraz wysokość trójkąta równobocznego;

- wyprowadza wzory na pola trójkąta równobocznego, sześciokąta foremnego i kwadratu.

Uczeń na ocenę celującą:

- rozwiązuje złożone zadania z wykorzystaniem własności różnych wielokątów.

RACHUNEK ALGEBRAICZNY I RÓWNANIA

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- mnoży sumy algebraiczne przez jednomian i dodaje wyrażenia powstałe z mnożenia sum algebraicznych przez jednomiany – proste przypadki;

- mnoży dwumian przez dwumian i wykonuje redukcję wyrazów podobnych – proste przykłady;

- rozwiązuje proste równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych;

- rozwiązuje proste zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, np. z obliczeniami procentowymi.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- rozwiązuje równania, które po prostych przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

- rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, np. z obliczeniami procentowymi.

Uczeń na ocenę dobrą:

- zapisuje rozwiązania typowych zadań tekstowych w postaci wyrażeń algebraicznych;

- rozwiązuje zadania przedstawione w postaci rysunku lub opisane słownie z zastosowaniem mnożenia sumy algebraicznej przez jednomian;

- rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, które mają jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań albo nie mają rozwiązania.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- zapisuje rozwiązania złożonych zadań tekstowych w postaci wyrażeń algebraicznych;

- podnosi dwumian do kwadratu;

- rozwiązuje równania, które wymagają wielu przekształceń, aby je doprowadzić do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, np. z obliczeniami dotyczącymi punktów procentowych.

Uczeń na ocenę celującą:

- ustala reguły: mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną oraz mnożenia dwóch sum algebraicznych;

- odkrywa wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy dwóch wyrażeń oraz na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń;

- stosuje rachunek algebraiczny do rozwiązywania zadań na dowodzenie.

BRYŁY

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych i prawidłowych – proste przypadki;

- wśród brył wyróżnia ostrosłupy, podaje przykłady ostrosłupów, np. w architekturze, otoczeniu;

- wskazuje elementy ostrosłupów (np. krawędzie podstawy, krawędzie boczne, wysokość bryły, wysokość ścian bocznych), rozpoznaje ostrosłupy prawidłowe;

- oblicza pole powierzchni i objętość ostrosłupów prawidłowych oraz takich, które nie są prawidłowe – proste przypadki.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- stosuje wzór na długość przekątnej sześcianu;

- podaje nazwy różnych ostrosłupów;

- rozpoznaje siatki ostrosłupów;

- rozwiązuje typowe zadania o tematyce praktycznej z zastosowaniem własności graniastosłupów i ostrosłupów;

- rozwiązuje typowe zadania o tematyce praktycznej z zastosowaniem obliczania pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów;

- wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości odcinków w ostrosłupach i graniastosłupach.

Uczeń na ocenę dobrą:

- rozwiązuje złożone zadania o tematyce praktycznej z zastosowaniem obliczania pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- wyznacza liczbę przekątnych dowolnego graniastosłupa;

- wyprowadza wzór na długość przekątnej sześcianu;

- rysuje graniastosłupy, ostrosłupy oraz ich siatki;

- stosuje własności trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 45⁰, 45⁰ oraz 30⁰, 60⁰ do obliczania długości odcinków w graniastosłupach i ostrosłupach.

Uczeń na ocenę celującą:

- wykorzystuje własności graniastosłupów i ostrosłupów w nietypowych zadaniach.

WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODO -

- BIEŃSTWA

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- oblicza, ile obiektów o danej własności, dogodną dla siebie metodą w prostych przypadkach, np. ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych, trzycyfrowych, dzielników dwucyfrowej liczby naturalnej, dwucyfrowych liczb pierwszych (złożonych);

- przeprowadza proste doświadczenia losowe polegające np. na rzucie monetą, sześcienną kostką do gry, kostką wielościenną lub na losowaniu kuli spośród zestawu kul i zapisuje wyniki tych doświadczeń w dogodny dla siebie sposób;

- znajduje liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniach losowych polegających np. na jednokrotnym rzucie monetą, sześcienną kostką do gry, kostką wielościenną lub na jednokrotnym losowaniu kuli spośród zestawu kul, a także wypisuje te zdarzenia;

- rozpoznaje zdarzenia pewne i niemożliwe w doświadczeniach losowych opisanych wyżej;

- oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych, polegających na rzucie monetą, rzucie sześcienną kostką do gry lub losowaniu kuli spośród zestawu kul.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- oblicza, ile jest liczb o danej własności, dogodną dla siebie metodą – trudniejsze przypadki, np. liczbę reszt z dzielenia dowolnej liczby naturalnej przez daną liczbę jednocyfrową;

- analizuje wyniki prostych doświadczeń losowych polegających np. na rzucie monetą, sześcienną kostką do gry, kostką wielościenną lub losowaniu kuli spośród zestawu kul.

Uczeń na ocenę dobrą:

- wyprowadza wzór na liczbę kolejnych elementów skończonych zbiorów liczbowych i stosuje go do rozwiązywania zadań;

- przedstawia wyniki doświadczenia losowego różnymi sposobami, np. za pomocą tabeli liczebności, tabeli częstości, diagramów słupkowych, kołowych procentowych.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- oblicza, ile jest obiektów o danej własności, dogodną dla siebie metodą – złożone przypadki;

- znajduje liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniach losowych polegających na rzucie innymi kostkami niż sześcienna kostka do gry, a także wypisuje te zdarzenia;

- oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych polegających na rzucie innymi kostkami niż sześcienna kostka do gry;

- rozwiązuje problemy przy wykorzystaniu pojęcia prawdopodobieństwa zdarzenia losowego;

- przedstawia wyniki doświadczenia losowego za pomocą drzewa.

Uczeń na ocenę celującą:

- oblicza, ile jest liczb x spełniających warunki:

a ≤ x ≤ b, a < x < b,

a ≤ x < b, a < x ≤ b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi;

- przedstawia wyniki doświadczenia losowego za pomocą drzewa.

OKRĄG, KOŁO I PIERŚCIEŃ KOŁOWY

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- oblicza za pomocą wzorów długość okręgu i pole koła o danym promieniu lub danej średnicy.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- oblicza promień lub średnicę okręgu o danej długości okręgu – proste przypadki;

- oblicza promień lub średnicę koła o danym polu – proste przypadki;

- rozwiązuje proste zadania o treści praktycznej z zastosowaniem obliczania długości okręgu i pola koła.

Uczeń na ocenę dobrą:

- podaje, jak wyprowadzić wzory na długość okręgu i pole koła o danym promieniu;

- przekształca wzór na długość okręgu, aby obliczyć promień lub średnicę okręgu;

- przekształca wzór na pole koła, aby obliczyć promień lub średnicę koła.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- rozwiązuje złożone zadania o treści praktycznej z zastosowaniem obliczania długości okręgu i pola koła.

Uczeń na ocenę celującą:

- rozwiązuje nietypowe zadania, problemy z zastosowaniem obliczania długości okręgu i pola koła.

SYMETRIE

Uczeń na ocenę dopuszczającą:

- rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta;

- rozpoznaje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne;

- wskazuje na rysunku osie symetrii figur osiowosymetrycznych i środek symetrii figur środkowosymetrycznych.

Uczeń na ocenę dostateczną:

- podaje i stosuje w prostych zadaniach podstawowe własności symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta;

- uzupełnia figurę do figury osiowosymetrycznej przy danych: osi symetrii figury i części figury;

- uzupełnia figurę do figury środkowosymetrycznej przy danych: środku symetrii figury i części figury;

- rysuje figurę (punkt, odcinek, okrąg) symetryczną do danej względem prostej;

- rysuje figurę (punkt, odcinek, okrąg) symetryczną do danej względem punktu.

Uczeń na ocenę dobrą:

- wyznacza współrzędne punktów symetrycznych do danych względem osi układu współrzędnych;

- wyznacza współrzędne punktów symetrycznych do danych względem początku układu współrzędnych;

- rysuje figurę (np. trójkąt, trapez) symetryczną do danej względem prostej;

- rysuje figurę (np. trójkąt, trapez) symetryczną do danej względem punktu;

- rysuje na papierze w kratkę figury symetryczne względem osi i względem punktu.

Uczeń na ocenę bardzo dobrą:

- stosuje w złożonych zadaniach podstawowe własności symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta;

- znajduje liczbę osi symetrii figur osiowosymetrycznych i zaznacza te osie na rysunku;

- znajduje środek symetrii figury lub uzasadnia jego brak.

Uczeń na ocenę celującą:

- rozwiązuje nietypowe zadania, problemy z zastosowaniem własności symetralnej odcinka, dwusiecznej kąta oraz figur osiowo – i środkowosymetrycznych.